Biografías
Élie Joseph Cartan

Élie Cartan (1869 - 1951)Fue un importante matemático francés del siglo XX, que nació el 9 de abril de 1869 en Dolomieu, en la Saboya francesa, y murió el 6 de mayo de 1951 en París.

Su origen era humilde, pues era hijo del herrero del pueblo. Fue descubierto por un inspector escolar que le consiguió una beca en Lyon.

En 1888 ingresó en la Escuela Normal Superior de París. Se doctoró en 1894. Fue profesor en las universidades de Montpellier, Lyon, Nancy y París; en esta última estuvo hasta 1942, cuando se retiró. Fue padre del también excelente matemático Henri Cartan.

Cartan se sumó brillantemente a la teoría de grupos continuos que había sido iniciada por Marius Sophus Lie (1842-1899). Su tesis doctoral (1894) puede considerarse una contribución de importancia capital a las álgebras de Lie, y en ella completa la clasificación de las álgebras semisimples que Wilhelm Karl Joseph Killing (1847-1923) había prácticamente encontrado. Posteriormente se volcó en la teoría de las álgebras asociativas e investigó la estructura de estas álgebras sobre los cuerpos de los números reales y complejos. Wedderburn completaría el trabajo de Cartan en este área.

Las representaciones de los grupos de Lie semisimples también atrajeron su atención. Su trabajo es una síntesis asombrosa de teoría de Lie, geometría clásica, geometría diferencial y topología, que se encuentra a lo largo de toda la obra de Cartan. También aplicó el álgebra de Grassmann a la teoría de las formas diferenciales exteriores.

Hacia 1904, Cartan se vuelca en el estudio de las ecuaciones diferenciales, y desde 1916 su investigación está centrada en la geometría diferencial, área en la que publica la mayoría de sus trabajos.

Según su propia opinión, el tema principal de sus trabajos fue la teoría de grupos de Lie. Comenzó trabajando sobre el material fundacional de las álgebras de Lie simples complejas, ordenando el trabajo previo de Engel y Killing. Este resultó en la clasificación definitiva, con la identificación de las cuatro familias principales y de los cinco casos excepcionales. Introdujo el concepto de grupo algebraico.

Definió la noción general de forma diferencial antisimétrica, en el estilo ahora usado; su enfoque a los grupos de Lie con las ecuaciones de Maurer-Cartan requería 2-formas para su determinación. En aquella época, lo qué fueron llamados sistemas de Pfaff (es decir ecuaciones diferenciales de primer orden dadas como 1-formas) estaban en uso general; la introducción de las variables nuevas para las derivadas, y formas adicionales, permitieron la formulación muy general de los sistemas de EDP (ecuaciones diferenciales parciales). Cartan agregó la derivada exterior como operación enteramente geométrica e independiente de las coordenadas, lo que conduce naturalmente a la necesidad de discutir p-formas, de grado general p. Cartan reconoció la influencia recibida de la teoría general de Riquier de EDP.

A partir de estos elementos básicos  - Grupos de Lie y formas diferenciales - produjo un gran cantidad de resultados de investigación y también algunas técnicas generales, que fueron incorporados gradualmente en la corriente principal de la matemática.

En el Travaux, analiza su trabajo en las siguientes 15 áreas (usando terminología moderna):

  1. Los grupos de Lie.
  2. Las representaciones de grupos de Lie.
  3. Los números hipercomplejos, las las álgebras de división.
  4. Los sistemas de EDPs, teorema de Cartan-Kähler.
  5. Teoría de equivalencia.
  6. Los conjuntos integrables, teoría de prolongación y de los sistemas en involución.
  7. Los grupos y pseudogrupos infinito-dimensionales.
  8. Geometría diferencial y los marcos móviles.
  9. Espacios generalizados con grupos de estructura y conexión, conexión de Cartan, holonomía, tensor de Weyl.
  10. Geometría y topología de los grupos de Lie.
  11. Geometría de Riemann.
  12. Los espacios simétricos.
  13. La topología de grupos compactos y sus espacios homogéneos.
  14. Invariantes integrales y mecánica clásica.
  15. Relatividad, los espinores.

 

Mar Ríos Gutiérrez

 

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